メタボールの分布式とその形状

メタボールとは?

メタボールは，簡単に言えばメタボール同士で相手を引っ張り合う性質を持つ形状のこと．

メタボールが引っ張り合う図．
2つのメタボールが引っ張り合っている．

メタボールを表現する式

CGで使われるため，何らかの計算式からどのように引っ張り合うかを求めている．このことを踏まえて，メタボールは濃度分布で表現される球(の集合)のことを指す．そして， 濃度分布の計算式は以下の通り．

D(r) = D_{\rm{center}} \exp(-ar^ 2)
  • D_{\rm{center}}は球の中心の濃度
  • aは濃度の減衰定数
  • rは球の中心からの距離
  • D(r)は距離rにおける濃度

3次元空間で原点にメタボールがあるとr = \sqrt{x^ 2+y^ 2}，つまりr^ 2 = x^ 2+y^ 2であるため，

D(x, y) = D_{\rm{center}} \exp(-a(x^ 2+y^ 2))

と表せる．図で見てみよう．数式を入力するとプロットしてくれる便利なWebサイトがある．

Wolfram|Alpha: Computational Intelligence

プロット結果と等高線は以下の通り(D_\rm{center} = 1, a=1)．

メタボールが引っ張り合う

メタボールが引っ張り合う時の分布は，メタボールの濃度分布の和で表現できる．

原点にあるメタボールは以下の式で表される．

D_1(x, y) = D_{\rm{center}} \exp(-a(x^ 2+y^ 2))

原点からx方向にx_0分だけ移動したメタボールは以下の式で表せる．

D_2(x, y) = D_{\rm{center}} \exp(-a( (x-x_0)^ 2+y^ 2))

このメタボール2つで表される濃度分布は

D(x, y)=D_1(x,y)+D_2(x,y)

と表せる(ただし，しきい値以上とする場合もある)．これも図で見てみよう．

Wolfram|Alpha: Computational Intelligence

プロット結果と等高線は以下の通り(D_\rm{center} = 1, a=1, x_0=-2.25)．

等高線は，メタボールが引っ張り合ったときの形になっている． x_0の値を変更すれば，メタボール同士がどの程度引っ張り合うのかがわかる．

メタボールの打ち消し

片方だけD_\rm{center} = -1としてみると，プロット結果と等高線は以下の通り．

軟式のテニスボールが凹んだような形状になる．

濃度分布が有限の範囲の分布関数

今までは，メタボールは以下の分布式で表した．

D(r) = D_{\rm{center}} \exp(-ar^ 2)

この分布式では，無限の範囲に分布を持つため形状の局所的な変更が難しい．そのことから，有限の範囲に絞った式も存在する．

\begin{eqnarray}D(r) =  \begin{cases} D_\rm{center}(1-(\frac{r}{R})^ 2 )^ 2 & (0 \leq r \leq R) \\\\  0  & (R \lt r)  \end{cases}\end{eqnarray}